Philosophie im Alltag

Sommerurlaub vom 24.08.2015 bis zum 06.09.2015.

In diesem Abschnitt wird eine Defitiniton der Tapferkeit widerlegt. Um den nachfolgenden Teil vollständig zu verstehen, empfehle ich, zunächst 192c-d (aus Laches) gelesen zu haben.

Es wird folgende These vertreten: Tapferkeit ist seelische Beharrlichkeit.

Diese These können wir auch als eine Äquivalenzaussage formulieren: Eine Person ist tapfer genau dann, wenn sie seelisch beharrlich ist.

Symbolisch: Für alle x: T(x) <=> B(x)
(T = tapfer; B = beharrlich)

Nun folgen zwei Prämissen. Zunächst: Tapferkeit gehört zu den vortrefflichen Gegenständen.

Dies schreiben wir als Implikation: Wenn eine Person tapfer ist, ist sie vortrefflich.

Symbolisch: Für alle x: T(x) => V(x)
(T = tapfer; V = vortrefflich)

Die zweite Prämisse lautet: Seelische Beharrlichkeit mit Verstand ist vortrefflich, seelische Beharrlichkeit mit Unverstand ist nicht vortrefflich.

In Logik gedacht, erhalten wir eine Existenzaussage der Form: Es gibt Personen, die seelisch beharrlich und vortrefflich sind, und es gibt Personen, die seelisch beharrlich und nicht vortrefflich sind.

Den zweiten Teil der zweiten Prämisse schreiben wir auch symbolisch auf: Es gibt x: B(x) und nicht V(x)
(B = beharrlich; V = vortrefflich)

Wir wollen nun diesen letzten Teil der Prämisse negieren:
nicht (Es gibt x: B(x) und nicht V(x))
<=> Für alle x: nicht (B(x) und nicht V(x))
<=> Für alle x: nicht B(x) oder V(x)
<=> Für alle x: B(x) => V(x)
(In Worten: Wenn eine Person beharrlich ist, dann ist sie vortrefflich)
Wir können also das zweite Prädikat (zumindest dessen letzten Teil) auch so schreiben:
nicht (Für alle x: B(x) => V(x))

Nun untersuchen wir die These und die erste Prämisse nocheinmal:
T: Für alle x: T(x) <=> B(x)
P: Für alle x: T(x) => V(x)

Wegen der These aber können wir das Prädikat T/1 in der Prämisse durch das Prädikat B/1 ersetzen und erhalten dann:
Für alle x: B(x) => V(x)

Nun aber haben wir einmal
Für alle x: B(x) => V(x)
und einmal
nicht (Für alle x: B(x) => V(x))

Wir haben also mit der These, dass Tapferkeit eine seelische Beharrlichkeit sei, einen logischen Widerspruch hergeleitet (genauer gesagt, hat das Platon getan) :-)

Damit folgt natürlich die Falschheit der These unter der Voraussetzung, dass die Prämissen als wahr anerkannt wurden.

Wir machen demnächst noch mit ein paar weiteren historischen Beispielen weiter, bevor wir uns in die Philosophie des 20. Jahrhunderts stürzen.

Hier mal eine kurze Erläuterung darüber, was denn diese indirekten Beweise sein sollen. Wir haben bisher schon zwei Beispiele für solche Gedankengänge (und werden in Zukunft viele weitere sehen). Daher ist es durchaus auch mal lohnenswert, sich die Theorie dahinter anzusehen.

Wir betrachten zunächst ein grundlegenderes Konzept bei Aussagen, nämlich die Implikation. Wir formulieren für zwei Aussagen A und B (die beliebig sein können) folgendes als Implikation:

A => B (sprich: aus A folgt B)

Die Implikation verknüpft die beiden Aussagen A und B miteinander. Sie ist wahr, wenn A falsch oder A und B wahr sind. Diese abstrakte Tatsache überlegt man sich am besten an einem einfachen Beispiel:

A = Es regnet.
B = Der Boden ist nass.

Nun gehen wir mal alle Möglichkeiten durch:
(i) Seien A und B falsch
:- Es regnet nicht und der Boden ist nicht nass
(Ein Zustand, der durchaus vorkommen kann)
(ii) Sei A wahr und B falsch
:- Es regnet aber der Boden ist nicht nass
(Ein Zustand, der so nicht vorkommen kann. Wenn es nämlich regnet, ist der Boden immer nass)
(iii) Sei A falsch und B wahr
:- Es regnet nicht aber der Boden ist nass
(Könnte durchaus auch vorkommen, wenn jemand einen Eimer Wasser über den Boden kippt. Wir sagen bei A => B nur, dass wenn A gilt, auch B gelten muss. Andersrum gilt das nicht!)
(iv) Seien A und B wahr
:- Es regnet und der Boden ist nass
(Logischerweise wahr)

Ich weiß, dass dieses Beispiel nicht gerade sehr gut gewählt ist. Es ist schwer, die Implikation intuitiv einzuführen. Denn man kann hier sagen, dass in Fall (ii) ja auch jemand einen Laken über den Boden hätte spannen können. Das ist durchaus richtig. Aber wir dürfen an dieser Stelle nicht so praktisch denken. Unsere Annahme ist ja A => B, d.h. aus Regen folgt nasser Boden, ganz egal, welche Umstände vorliegen. Demnach ist auch ein Laken (in der Theorie!) kein Hindernis des Regens, den Boden nass zu machen.

Wenn man diese Aussageform erst einmal verarbeitet hat, können wir mit dem eigentlichen indirekten Beweis beginnen:

nicht B => nicht A

Wir negieren unsere Aussagen A und B und "drehen" die Implikation einfach um. Wir erhalten somit aus "Wenn es regnet, wird der Boden nass" die Aussage "Wenn der Boden nicht nass ist, dann regnet es nicht". Diese Beiden Aussagen sind logisch äquivalent zueinander. Das heißt, wenn ich eine Aussage zeigen möchte, kann ich auch die andere (dazu äquivalente) zeigen (im Sinne von "beweisen") und ich hätte damit auch automatisch die ursprüngliche Aussage bewiesen.

Auch das hier muss man ein wenig verdauen. Bei Bedarf, sich weiter einzulesen, empfehle ich weiterführende Literatur (tatsächlich ist das hier eines der ersten Themen in jedem Logikbuch). Ich wollte das alles hier nur mal kurz beschrieben haben, damit man auch weiß, wovon ich zum Teil spreche.