Philosophie im Alltag

"Denn, man nehme an, die Welt habe der Zeit nach keinen Anfang:"

- Gut, wir nehmen also nach dem Prinzip des indirekten Beweises an, dass die zu beweisende Aussage falsch sei, die Welt also keinen Anfang in der Zeit habe.

"so ist bis zu jedem gegebenen Zeitpunkte eine Ewigkeit abgelaufen, und mithin eine unendliche Reihe auf einander folgender Zustände der Dinge in der Welt verflossen."

- Soweit ja auch klar, denke ich. An keinem Zeitpunkt hat ein "Anfang" in dem Sinne existiert. Wir blicken also an jedem Zeitpunkt auf eine "unendliche" Vergangenheit zurück.

"Nun besteht aber eben darin die Unendlichkeit einer Reihe, daß sie durch sukzessive Synthesis niemals vollendet sein kann."

- Hier steht nun, dass nach der Idee der Unendlichkeit (dass es nämlich immer ein Folgeglied gibt, wenn man quasi denkt, das letzte erreicht zu haben) das "Zusammenfassen" einzelner Ereignisse (der Zeitachse) niemals vollständig sein kann. Wenn man das "letzte" (hier: jüngste) Ereignis betrachtet, gibt es (nach Annahme) ein Ereignis, das auch zuvor stattgefunden hat. Somit Kann diese Kette an Ereignissen ja niemals vollständig sein.

"Also ist eine unendliche verflossene Weltreihe unmöglich, mithin ein Anfang der Welt eine notwendige Bedingung ihres Daseins; welches [...] zu beweisen war."

- Nun müssen wir nur noch sagen, dass ein jetziger Zustand aber eben vollständig das "Produkt" aller Ereignisse zuvor ist. Soetwas gibt es aber nach dem vorigen Satz ja nicht, womit wir aus der ursprünglichen Annahme einen logischen Widerspruch hergeleitet haben.

- In der Logik ist es so, dass eine Aussage entweder wahr oder falsch ist (aber nicht keines von beiden, und auch nicht beides zugleich!). Damit folgt die Behauptung.

Beweis:

"Denn, man nehme an, die Welt habe der Zeit nach keinen Anfang: so ist bis zu jedem gegebenen Zeitpunkte eine Ewigkeit abgelaufen, und mithin eine unendliche Reihe auf einander folgender Zustände der Dinge in der Welt verflossen. Nun besteht aber eben darin die Unendlichkeit einer Reihe, daß sie durch sukzessive Synthesis niemals vollendet sein kann. Also ist eine unendliche verflossene Weltreihe unmöglich, mithin ein Anfang der Welt eine notwendige Bedingung ihres Daseins; welches [...] zu beweisen war."

- Immanuel Kant: Die Kritik der reinen Vernunft.




Im Gegensatz zum vorherigen Beweis von Euklid, folgt dieser keiner klaren Gedankenstruktur. Wir wissen nicht wie in der Mathematik, was wir benutzen dürfen, um unsere deduktiven Überlegungen fortzuführen. Aber dieser Beweis hat eine sehr ähnliche Struktur zu dem von Euklid. Wir nehmen das Gegenteil an und leiten daraus logisch einen Widerspruch her.
Zugegebenermaßen ist das ein sehr schwieriger Beweis, den man verdauen muss. Er ist (aus heutiger Sicht der Dinge) mit ziemlicher Sicherheit korrekt.

Bevor wir uns mit problematischeren und moderneren Beweisen und Sachtexten beschäftigen, werde ich einige weitere Beispiele dieser Art anbringen, um einfach mal das "Gespür" für einen korrekten Beweis zu vermitteln. Im nächsten Beitrag werde ich Kants Beweis hierzu weiter erläutern. Man findet insgesamt 4 * 2 solcher Beweise unter dem Namen "Antinomien der reinen Vernunft". Die sind alle nicht lange und bilden zusammen die Rechtfertigung, über ethische Entscheidungen und Handlungen zu diskutieren. Also gerne mal ansehen, um das eigene Gehirn einer Prüfung zu unterziehen :-)

Beweis:

Wir nehmen an, dass die Wurzel aus zwei rational wäre. Dann muss es aber einen Bruch der Form a/b mit ganzzahligem Zähler a und Nenner b, die teilerfremd sind, sodass (a/b)² = 2 gilt.

Durch Anwenden des Quadrates auf Zähler und nenner folgt: a²/b² = 2. Multiplizieren mit b² liefert dann: a² = 2b².

a² ist somit das Doppelte einer Zahl b² und somit gerade. Da a² gerade ist, ist auch a gerade. Wir können also a darstellen durch: a = 2k für ein k aus der Menge der ganzen Zahlen.

Nun ist aber 2b² = a² = (2k)² = 4k². Hieraus liefert die Division durch zwei: b² = 2k². Aus derselben Begründung folgt nun auch hier, dass b² und somit auch b gerade sein muss.

Wir sehen nun, dass a und b gerade sind. Somit ist die Zwei ein gemeinsamer Teiler von a und b. Nun aber ist dies ein Widerspruch zu unserer anfänglichen Annahme, dass a und b teilerfremd sind.

Damit folgt, dass die Wurzel aus zwei nicht rational (und somit irratonal) sein muss.




Was haltet Ihr von diesem Beweis? Dies ist eines der ersten Beweise, die nach dem Prinzip des "reductio ad absurdum" geführt wurde.