Samstag, 19. September 2015
Theorie: Binäre Relationen und Quantoren
phanthasmo, 10:14h
Dieser Beitrag soll einen beliebten Fehlschluss aufzeigen. Aber um den zu verstehen, müssen wir uns zunächst ansehen, was binäre Relationen und Quantoren sind.
Eine binäre Relation beschreibt den Zusammenhang zwischen genau zwei Elementen. Wer sich in der Prädikatenlogik etwas genauer auskennt, erkennt hier vermutlich, dass eine solche Relation nichts anderes als ein Prädikat ist.
Es sei also p ein Prädikat, dann ist p(x, y) eine binäre Relation zwischen den Elementen x und y.
Bsp.:
p(x, y) := x liebt y
p(Max, Berta) => Max liebt Berta
Ein Quantor "quantifiziert" eine Aussage. Wenn ich nun eine Aussage über ein Element x (beispielsweise über ein Prädikat) treffe, kann ich mit einem Quantor mitteilen, ob diese Aussage für alle x oder für mindestens ein x gelten soll. Da dieser Blog mir die Sonderzeichen verwehrt, sei hier kurz der Rat erteilt, die Symbole selbst nachzusehen, unter den Stichworten "Allquantor" und "Existenzquantor". In diesem Blog steht "A" für den Allquantor und "E" für den Existenzquantor (falls nicht anders eingeführt), um dennoch darüber schreiben zu können.
Bsp.:
Ax : p(x, Berta) => Jeder liebt Berta
Ay : p(Max, y) => Max liebt jeden
Ex : p(x, Berta) => Jemand liebt Berta
Ey : p(Max, y) => Max liebt jemanden
Nun kann man diese Quantoren auch schachteln. Hier seien nun alle Möglichkeiten aufgelistet. Macht Euch bitte die Unterschiede dieser Aussagen bewusst!
AxAy : p(x, y) => Jeder liebt jeden
AxEy : p(x, y) => Jeder liebt jemanden
ExAy : p(x, y) => Jemand liebt jeden
ExEy : p(x, y) => Jemand liebt jemanden
AyAx : p(x, y) => Jeder wird von jedem geliebt
AyEx : p(x, y) => Jeder wird von jemandem geliebt
EyAx : p(x, y) => Jemand wird von jedem geliebt
EyEx : p(x, y) => Jemand wird von jemandem geliebt
Und nun zu einem der beliebten Fehlschlüssen in philosophischen Schrifen...
Viele glauben, dass die Aussage
AxEy : p(x, y)
äquivalent zu der Aussage
EyAX : p(x, y)
sei. Das ist aber nunmal nicht der Fall. Wie im obigen Beispiel gesehen, kann man diese Quantoren nicht einfach so vertauschen, und das Prädikat dabei unberührt lassen. Jemand, der soetwas behauptet, hat somit auch gesagt, dass wenn "Jeder jemanden liebt" folglich auch "Jemand von jedem geliebt wird". Wir wissen offenbar, dass das nicht so ist.
In der Praxis wird aber keine solch einfache Relation wie etwa "x liebt y" verwendet. Beim raschen Durchlesen hört sich die Argumentation durchaus schlüssig und korrekt an. Bei genauerem Betrachten jedoch, ist dies nicht der Fall.
Es folgt dazu ein Beispiel, an dem wir das sehen werden.
Eine binäre Relation beschreibt den Zusammenhang zwischen genau zwei Elementen. Wer sich in der Prädikatenlogik etwas genauer auskennt, erkennt hier vermutlich, dass eine solche Relation nichts anderes als ein Prädikat ist.
Es sei also p ein Prädikat, dann ist p(x, y) eine binäre Relation zwischen den Elementen x und y.
Bsp.:
p(x, y) := x liebt y
p(Max, Berta) => Max liebt Berta
Ein Quantor "quantifiziert" eine Aussage. Wenn ich nun eine Aussage über ein Element x (beispielsweise über ein Prädikat) treffe, kann ich mit einem Quantor mitteilen, ob diese Aussage für alle x oder für mindestens ein x gelten soll. Da dieser Blog mir die Sonderzeichen verwehrt, sei hier kurz der Rat erteilt, die Symbole selbst nachzusehen, unter den Stichworten "Allquantor" und "Existenzquantor". In diesem Blog steht "A" für den Allquantor und "E" für den Existenzquantor (falls nicht anders eingeführt), um dennoch darüber schreiben zu können.
Bsp.:
Ax : p(x, Berta) => Jeder liebt Berta
Ay : p(Max, y) => Max liebt jeden
Ex : p(x, Berta) => Jemand liebt Berta
Ey : p(Max, y) => Max liebt jemanden
Nun kann man diese Quantoren auch schachteln. Hier seien nun alle Möglichkeiten aufgelistet. Macht Euch bitte die Unterschiede dieser Aussagen bewusst!
AxAy : p(x, y) => Jeder liebt jeden
AxEy : p(x, y) => Jeder liebt jemanden
ExAy : p(x, y) => Jemand liebt jeden
ExEy : p(x, y) => Jemand liebt jemanden
AyAx : p(x, y) => Jeder wird von jedem geliebt
AyEx : p(x, y) => Jeder wird von jemandem geliebt
EyAx : p(x, y) => Jemand wird von jedem geliebt
EyEx : p(x, y) => Jemand wird von jemandem geliebt
Und nun zu einem der beliebten Fehlschlüssen in philosophischen Schrifen...
Viele glauben, dass die Aussage
AxEy : p(x, y)
äquivalent zu der Aussage
EyAX : p(x, y)
sei. Das ist aber nunmal nicht der Fall. Wie im obigen Beispiel gesehen, kann man diese Quantoren nicht einfach so vertauschen, und das Prädikat dabei unberührt lassen. Jemand, der soetwas behauptet, hat somit auch gesagt, dass wenn "Jeder jemanden liebt" folglich auch "Jemand von jedem geliebt wird". Wir wissen offenbar, dass das nicht so ist.
In der Praxis wird aber keine solch einfache Relation wie etwa "x liebt y" verwendet. Beim raschen Durchlesen hört sich die Argumentation durchaus schlüssig und korrekt an. Bei genauerem Betrachten jedoch, ist dies nicht der Fall.
Es folgt dazu ein Beispiel, an dem wir das sehen werden.
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