Philosophie im Alltag

Hier mal eine kurze Erläuterung darüber, was denn diese indirekten Beweise sein sollen. Wir haben bisher schon zwei Beispiele für solche Gedankengänge (und werden in Zukunft viele weitere sehen). Daher ist es durchaus auch mal lohnenswert, sich die Theorie dahinter anzusehen.

Wir betrachten zunächst ein grundlegenderes Konzept bei Aussagen, nämlich die Implikation. Wir formulieren für zwei Aussagen A und B (die beliebig sein können) folgendes als Implikation:

A => B (sprich: aus A folgt B)

Die Implikation verknüpft die beiden Aussagen A und B miteinander. Sie ist wahr, wenn A falsch oder A und B wahr sind. Diese abstrakte Tatsache überlegt man sich am besten an einem einfachen Beispiel:

A = Es regnet.
B = Der Boden ist nass.

Nun gehen wir mal alle Möglichkeiten durch:
(i) Seien A und B falsch
:- Es regnet nicht und der Boden ist nicht nass
(Ein Zustand, der durchaus vorkommen kann)
(ii) Sei A wahr und B falsch
:- Es regnet aber der Boden ist nicht nass
(Ein Zustand, der so nicht vorkommen kann. Wenn es nämlich regnet, ist der Boden immer nass)
(iii) Sei A falsch und B wahr
:- Es regnet nicht aber der Boden ist nass
(Könnte durchaus auch vorkommen, wenn jemand einen Eimer Wasser über den Boden kippt. Wir sagen bei A => B nur, dass wenn A gilt, auch B gelten muss. Andersrum gilt das nicht!)
(iv) Seien A und B wahr
:- Es regnet und der Boden ist nass
(Logischerweise wahr)

Ich weiß, dass dieses Beispiel nicht gerade sehr gut gewählt ist. Es ist schwer, die Implikation intuitiv einzuführen. Denn man kann hier sagen, dass in Fall (ii) ja auch jemand einen Laken über den Boden hätte spannen können. Das ist durchaus richtig. Aber wir dürfen an dieser Stelle nicht so praktisch denken. Unsere Annahme ist ja A => B, d.h. aus Regen folgt nasser Boden, ganz egal, welche Umstände vorliegen. Demnach ist auch ein Laken (in der Theorie!) kein Hindernis des Regens, den Boden nass zu machen.

Wenn man diese Aussageform erst einmal verarbeitet hat, können wir mit dem eigentlichen indirekten Beweis beginnen:

nicht B => nicht A

Wir negieren unsere Aussagen A und B und "drehen" die Implikation einfach um. Wir erhalten somit aus "Wenn es regnet, wird der Boden nass" die Aussage "Wenn der Boden nicht nass ist, dann regnet es nicht". Diese Beiden Aussagen sind logisch äquivalent zueinander. Das heißt, wenn ich eine Aussage zeigen möchte, kann ich auch die andere (dazu äquivalente) zeigen (im Sinne von "beweisen") und ich hätte damit auch automatisch die ursprüngliche Aussage bewiesen.

Auch das hier muss man ein wenig verdauen. Bei Bedarf, sich weiter einzulesen, empfehle ich weiterführende Literatur (tatsächlich ist das hier eines der ersten Themen in jedem Logikbuch). Ich wollte das alles hier nur mal kurz beschrieben haben, damit man auch weiß, wovon ich zum Teil spreche.