Philosophie im Alltag

Beweis:

Wir nehmen an, dass die Wurzel aus zwei rational wäre. Dann muss es aber einen Bruch der Form a/b mit ganzzahligem Zähler a und Nenner b, die teilerfremd sind, sodass (a/b)² = 2 gilt.

Durch Anwenden des Quadrates auf Zähler und nenner folgt: a²/b² = 2. Multiplizieren mit b² liefert dann: a² = 2b².

a² ist somit das Doppelte einer Zahl b² und somit gerade. Da a² gerade ist, ist auch a gerade. Wir können also a darstellen durch: a = 2k für ein k aus der Menge der ganzen Zahlen.

Nun ist aber 2b² = a² = (2k)² = 4k². Hieraus liefert die Division durch zwei: b² = 2k². Aus derselben Begründung folgt nun auch hier, dass b² und somit auch b gerade sein muss.

Wir sehen nun, dass a und b gerade sind. Somit ist die Zwei ein gemeinsamer Teiler von a und b. Nun aber ist dies ein Widerspruch zu unserer anfänglichen Annahme, dass a und b teilerfremd sind.

Damit folgt, dass die Wurzel aus zwei nicht rational (und somit irratonal) sein muss.




Was haltet Ihr von diesem Beweis? Dies ist eines der ersten Beweise, die nach dem Prinzip des "reductio ad absurdum" geführt wurde.